「量とは何か」
銀林浩「量と数学教育」「数学教育現代化の基礎１「量と構造」」（遠山啓・銀林浩編，国土社）所収（1971）より抜粋。
注）仮名漢字表記や句読法は原文に忠実ではない。
量とはいったい何であろうか？物理学的に，また哲学的にはいろいろの解釈がありうる。物理学者では，ガリレオ，ヘルムホルツ，アインシュタインなど多くの学者が量の理論を提出しているし，哲学者では，アリストテレス，カント，ヘーゲルなどがその側からの理論を提出している。しかし，ここでは，数学教育との関連において，もっとも扱いやすい規定を考えれば十分である。
そこで，量とはものの１側面であると考える。ものにはいろいろな側面があろう。質的（qualitive）な側面もあれば量的（quantitative）な側面もある。長さ・重さ・密度・価格などは，この量的な側面である。しかし「美しい」とか「おこりっぽい」とかいうのは，少なくとも現在までのところ量的な側面とはいえない。それらは，質的な性質といわなくてはならない。
時間ははたしてものの側面といえるか，というような疑問も生じるが，これもものの一様な運動に付随する経過量と考えれば，この規定に準じて扱うことができよう。じつは数学教育における時間概念のむずかしさは，ここに１つの原因があるといえる。
数学的にいえば，もの，つまり集合Aにその側面 m(A)を対応させる写像を考えるわけである :
m：A → m(A)
数学では，このような写像を集合函数（集合を変数とする函数）という。のちに述べるように，量が数値化されれば，函数値 m(A)は整数あるいは実数となる。この数値
m(A)が集合
Aの上に《乗っている》，あるいは《分布している》と考えれば，それは一様に分布していなければならない。だから，量は，集合の一様化（等質化）によって得られるといってもよい。
しかし，これだけでは，まだ量を質から区別したことにならないから，不十分である。もう少し精密な規定が必要である。そのために２つの規準を設けよう。
[a]
比較可能性（comparability）すなわち，《ものの１側面》が単なる質ではなく量であるためには，相互に比較ができなくてはならない。すなわち，２つのもの
A1, A2 をもってきたときに，m(A1) と m(A2) の間に， m(A1)≦m(A2) のような関係が成り立ち（つまり直接比較の原理である）値
m(A) について
（１）a≦a （反射律）
（２）a≦b, b≦a ならば a=b （反対称律）
（３）a≦b, b≦c ならば a≦c （推移律）
が成り立つ。いいかえれば，量mは全順序集合を作る。
ここから，いかなる場合にも（内包量においても）比較（大きい小さい，長い短い，広い，狭い，重い，軽い，速い，遅い，濃い，薄い，など）こそが量指導の第一歩でなければならないことがわかる。また，（３）の推移律が間接比較の論理にほかならない。
しかし，比較ができるだけではまだ十分ではない。比較可能性だけでは，量 m が単なる全順序集合をなすというだけで，数直線上に目盛れる，すなわち，実数の連続体（ R の部分集合)をなすことは保証されないからである。
数直線をなすためには，一様につまり等間隔に量 m(A) が配列されなければならない。そのために
[b] 差異の相等化または差の等化。いいかえると，a と b をくらべたときの差 b―a と c と d をくらべたときの差 d―c
を等置できる：
b―a＝d―c … (1)
ということである。もっと標語的にいえば，差の比較可能性である。
以上の２つの限定をつけた１側面m(A)を量(quantity)とよぶことにする。
差異の相等化を定式化した式 (1) において，とくに a=0 とおくと（空集合のになう量 m(φ)=0 とする）
b＝d―c … (2)
すなわち，
c+b＝d … (3)
が得られる。いいかえれば，差異の相等化は加法の可能性 (3) と減法の可能性 (2) に導く。ただ，加法といっても，もともとの差異の相等化 (1)
が，差の等しいことを主張しているので，減法 (2) は求差であり，加法 (3) は添加を意味していることに注意しなければならない。
ところで，(3)において，b=x+y であったとすると，図1-2から見てとれるように，(3)の関係は，
c + (x+y)＝(c+x) + y … (4)
と書き直せる。すなわち，加法 (3) は結合律をみたすことが導かれる。
図1-2（省略）
こうして量
m(A)は全順序集合をなすとともに，加減の可能性によって群をなすことになる。そこでつぎは，この群算法の添加が大小の順序関係と両立するかどうか，つまり
x＜y ならば a+x＜a+y （添加の単調性）
がなりたつかどうかであるが，x＜y なら，(3)によって，z なる量があって
x+z＝y，
したがって
a+(x+z)＝a+y
結合律によって
(a+x)+z = a+y
したがって
a+x＜a+y
で両立性はたしかに成り立つ。だから量 m(A) の全体Gは１つの全順序群をなす。
さて，２つの分量 a, b を間接比較する際（間接比較自身は，推移律の適用である）第３の媒介項 c が a と b の間にあれば，
a＜c, c＜b ならば a＜b
が導かれて比較は完了する。ところが，この第三者 c が a や b より小さいときは，差の比較可能性によって c を取り除いた差 a―c と b―c
を比較する。添加の単調性によって，a―c と b―c の比較から a と b の比較が従う（a―c＜b―c なら，c+(a―c)＜c+(b―c)，すなわち
a＜b となる）。さらに c がこの２つの差よりまだ小さいときには，また c を取り除いた a―2c と b―2c を比較する。こうして，もし
a＜nc, nc＜b … (4)
なる自然数 n が存在すれば，比較は完了する。この c が個別単位にほかならない。cを標準化すれば普遍単位となる。
しかし，(4) が可能なためには，任意の量 c をいくつか添加すれば（つなげれば），与えられた量 a をしのぐという，アルキメデスの公理：
[c] 与えられた２つの量 a, c に対して， a＜nc をみたす自然数 n が存在することが前提となる。（「塵も積もれば山となる」の理）
こうして，[a] 比較可能性，[b] 差異の相等化，[c] アルキメデスの公理を仮定すると，量 m(A) の全体 G はアルキメデス的全順序群をなし，ブルバキの定理（ブルバキ「位相３」東京図書§３演習１p18参照）によって，実数の加法群 R の部分群に同型になる。
この同型によって，量 m(A) は数値化され，G は離散群に同型になるか，あるいは実数 R の部分集合に同型になる。
引用者注）同型でも G は其れと同一ではない。つまり G には積（量同士の積）は定義されていない。
